Sphere packing: la formula del «Packaging»
Autore dei testi: Gaetano Barbella.
Elaborazione web by Visibilmente.
Oggi riscontriamo che la geometria, per esempio, insegna come mettere sfere in un cubo e ottimizzare le trasmissioni, per colmare razionalmente un dato volume.
In passato ci fu chi si occupò per diletto di una simile cosa. Nel 1600 sir William Raleigh chiese al matematico Harriot quanti proiettili ci fossero in un mucchio. Si vedrà in seguito che dalle palle di cannone alla trasmissione dei messaggi la strada è breve, essendo questo il vero scopo della presente pratica matematica sulla razionalizzazione del «packaging», detto in gergo, di sfere in un volume prefissato che in questo millennio sembra sia un’esigenza dettata appunto dal miglior modo di tecnicizzare le trasmissioni di messaggi. In «Sfere Packing and Groups», che rappresenta la bibbia sull’argomento dell’impacchettamento, oltre alla formulazione di ipotesi nel campo della matematica pura, troviamo sviluppata la costruzione di un codice ottimale per un canale di trasmissione disturbato da rumore che è il nostro argomento per «colmare un'immaginaria sfera» in stretta relazione con quella terrestre, giacché in tal senso si orienterà la ricerca geometrica in atto, come già suddetto.
In tema di canale di trasmissione una sorgente di informazione è una sorgente di simboli che sono mandati a un trasmettitore che li converte in segnali elettrici, o di altro tipo, e li invia ad un ricevitore lungo una linea di trasmissione. Il segnale è rappresentato da un insieme di N numeri e pertanto può essere pensato come un insieme di coordinate in un spazio di dimensione N. Nel caso delle trasmissioni le dimensioni degli spazi coinvolti sono in genere molto elevate: un segnale televisivo della durata di un secondo appartiene ad uno spazio di dimensione 10 milioni. In fase di ricezione, se la linea è disturbata, il segnale non sarà più lì dove è stato messo, ma sarà all’interno di una sfera con centro nel segnale. A causa del rumore le coordinate non individueranno un punto, ma piuttosto una regione sferica che circonda la sua posizione ideale. Naturalmente perché segnali diversi non si confondano è necessario che le loro sfere d’esistenza non si sovrappongono, cioè che siano distinte le une dalle altre.
Le sfere devono essere disgiunte, affinché il decodificatore (decoder) alla ricezione possa recuperare correttamente il segnale inviato. Inoltre, la capacità di un canale è tanto maggiore quanto più segnali distinti sono disponibili. Per sfruttare appieno l’ampiezza della banda e la potenza di trasmissione si devono poter inviare molti segnali distinti e per riceverli correttamente devono essere abbastanza lontani.
In sostanza, di nuovo un problema di impacchettamento delle sfere. Il problema della trasmissione a pacchetti oggi è diventato attuale, con la necessità di inviare dati on linea. L’utilizzo di protocolli che consentono di convogliare dati corposi in spazi ridotti di segnale – tali da essere sopportati da doppini telefonici - si basano proprio su alcune teorie che abbiamo descritto. E pensare che tutto iniziò da una domanda: «Quante palle di cannone ci sono in quel mucchio?».
