L'angolo aureo: pentagramma e spirale aurea.

Autore dei testi: Gaetano Barbella.

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(TAV.07) A sinistra: configurazione del segmento aureo attraverso il diametro del cerchio inscritto al pentagramma, o il raggio intermedio intersecante nel punto I la spirale aurea. A destra: geometria del triangolo isoscele per risalire alla configurazione dell'angolo aureo.

L'angolo aureo nella geometria del pentagramma. La spirale aurea.

Non c'è configurazione geometrica che non permetta di risalire all'individuazione dell'angolo aureo.
Nel caso di geometrie stellari di qualsiasi tipo, è interessante l'itinerario geometrico per giungere a questo fine. Per esempio, esaminando il caso del pentagramma sopra rappresentato (TAV.07), a differenza di tante altre del genere, si dimostra veramente speciale.
Come accennato con la didascalia della suddetta illustrazione, si configura a prima vista il segmento aureo attraverso il diametro del circolo inscritto al pentagramma, cosa che non si rivela attraverso altre geometrie con numero diverso di angoli salienti.
Lo stesso risultato si ottiene col raggio intermedio intersecante nel punto I della spirale passante per i punti F, H, I, D.
A ragione di questa particolare condizione, questa spirale non può che stimarsi parente del segmento aureo e dell'angolo aureo e, perciò, aurea anch'essa. A questo punto, disponendo del segmento aureo, rifacendoci alle precedenti argomentazioni geometriche relative alle diverse intersezioni di coniche ed altro, è possibile risalire all'angolo aureo.
Però è interessante procedere come rappresentato sopra (TAV.07), per arrivare a disegnare il corrispondente triangolo isoscele, con la base poggiante su una parabola, avente il semiangolo al vertice pari all'angolo aureo ricercato. Di questo triangolo se ne è già parlato in relazione alla TAV.04, a sinistra. Di altro sul pentagramma mostro di seguito un sintetico formulario di calcolo:
þ = þo/(cosØ)/3, (equazione polare);
þo = r(sen18°); (18° vale per la pentastella, per le altre vale il semiangolo di una delle punte stellari)
r = raggio est. pentastella = 1;
õ = arctg 3 ctg Ø/3, (tangente della spirale).

Concludendo, si deve alla geometria del pentagramma la semplificazione del calcolo dell'angolo aureo attraverso la formula:
Ø aureo = arctang (o arcos) v(2sen18°) = 38,1727070763...°




(TAV.08) Pentagramma

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