L'angolo aureo nella lemniscata di Bernoulli

Autore dei testi: Gaetano Barbella.

Elaborazione web by Visibilmente.

La «Lemniscata di Bernoulli» (da lemniscato: lemnisco, corona, palma) è il nome di una particolare ovale di Cassini. Si tratta del luogo dei punti di un piano per i quali il prodotto delle distanze PF', PF da due punti fissi F', F (prima figura sotto, TAV.05) è costante e precisamente è uguale al quadrato della semidistanza dei due punti; è una quartina razionale bicircolare con un punto doppio nodale e tangenti ortogonali nel punto medio del segmento AB; ha equazione cartesiana: (x²+y²)=2a(x²-y²); e polare: þ=av(cos2Ø).

(TAV.05) Lemniscata di Bernoulli.


(TAV.06) Lemniscata di Bernoulli. Segmento OP: coseno e tangente dell'angolo aureo.

Dunque, ridisegnando la «Lemniscata di B.» (seconda figura, TAV.06), premesso che a=1, si congiungano F', P e P', ottenendo così un triangolo isoscele. In seno a questo triangolo congiungando poi P con O si individua il valore della tangente dell'angolo aureo calcolata nel precedente capitolo. Infatti sviluppando l'equazione polare della «Lemniscata di Bernoulli» si verifica che il valore supposto è giusto.
Da: þ=av(cos 2Ø) si perviene al valore di Ø=25,91364623...° che permette di verificare, appunto, l'esattezza di F'O=FO=1/v2.
Riguardo al triangolo isoscele F'PP', il semiangolo al vertice F' si calcola con la formula arctg PF/F'F che dà come risultato 13,6545848...°. Niente di più facile dedurre che quest'angolo conduce all'individuazione dell'angolo aureo. Infatti l'angolo in questione si ottiene in questo caso così: Ø=(90°-13,6545848...°)/2=38,17270762...°