L'angolo aureo: intersezione di cerchio con parabola.

Autore dei testi: Gaetano Barbella.

Elaborazione web by Visibilmente.

Intersezione di un cerchio con una parabola

1. Parabola canonica: coordinate fuoco (p/2,0); direttrice x=-p/2 .
2. Cerchio: raggio r=p/2; coordinate centro (0,0) coincidente col vertice dell'origine parabola con l'asse X.
3. Se P è il punto d'intersezione della parabola col cerchio, F il fuoco della parabola e Q la proiezione di P sull'asse X, l'angolo QPF è quello ricercato che risulta, dal calcolo, pari a 38,1727076...°.
4. Il calcolo è impostato sulla risoluzione di un sistema di due equazioni, quella della parabola, X²+Y²=r² e del cerchio, Y² = 2pX.
5. La tangente del suddetto angolo di 38,172707076...° dedotto dai suddetti calcoli è 0,78615138...
6. In riferimento all'angolo, di cui la punto 3, che ho chiamato aureo, configurato nel triangolo rettangolo QPF, il lato PF di questi, che collega il punto di intersezione P al fuoco della parabola F, è 0,618033988..., che è anche il numero aureo reciproco, f-1, della serie di Fibonacci, quello della sezione aurea o media ragione!

Calcoli

1. Equazione della parabola: Y²=2pX;
2. equazione del cerchio: X²+Y²=r²;
3. sostituendo la Y² del cerchio con la Y² della parabola si ha che
   X²+2pX = r²;
4. ma p=1 ed r=½;
5. pertanto l'equazione della 3. è X²+2X=¼,
   ovvero X²+2X-¼=0;
6. trattandosi di un'equazione di 2° grado, si risolve con la formula:
   X=[-b±v(b²-4ac)]/2 a
   così si ha che X=[-2±v(4+1)]/2=0, 118033988... ;
7. da Y²=2pX=2X,
   perciò Y=v(2x)=v(2·0,118033988)=0,485868271... ;
8. si possono, a questo punto, conoscere le funzioni dell'angolo aureo:
   tang Ø = cos Ø =
   = (½-X)/Y=0,381966012.../0,485868271...=0,78615138... ;
9. l'«angolo aureo» Ø=arctang 0,78615138...=
   =38,172707627012247493468301332925...° ;
10. Infine si delinea anche la sezione aurea o media ragione attraverso il lato PF del triangolo PQF:
    PF=0,5+X=0,618033988...
    che è il numero di Fibonacci tendente ad f.