L'angolo aureo

Autore dei testi: Gaetano Barbella.

Elaborazione web by Visibilmente.

(TAV.01)

Introduzione

Di questo angolo se ne fa cenno nel libro di Italo Ghersi, «La matematica dilettevole e curiosa» edizione Hoepli, nel capitolo dedicato alla «quadratura del circolo», ma senza tanti approfondimenti. Si tratta di un preciso angolo le cui funzioni trigonometriche del coseno e tangente danno luogo allo stesso valore che si approssima a quello del «quarto della circonferenza», uno dei diversi itinerari matematici empirici per arrivare allo scopo della ricercata «quadratura del circolo».
Ho definito aureo l'angolo in questione perché farò vedere che deriva dalla nota «sezione aurea» o «media ragione» che gli artisti del Rinascimento tenevano in gran conto per allestire in anteprima il soppalco strutturale delle loro opere.
In matematica, la sezione aurea o media ragione di un segmento AB, è quella parte AX che è media proporzionale tra l'intero segmento e la rimanente parte XB. In particolare si può definire questa concezione con la seguente espressione di calcolo:

Se, poi, a 1,618033989... sottraiamo 1, otteniamo il relativo inverso, 0,618033988.
Detto questo, l'angolo aureo ora comincia a delinearsi se consideriamo il suddetto inverso della sezione aurea quale valore del seno relativo:

A questo punto siamo in grado di costatare che le corrispondenti funzioni trigonometriche del coseno e tangente risultano effettivamente uguali fra loro.
Infatti:
Sembrerebbe concluso ogni cosa sull'angolo aureo, essendo riusciti a trovare il relativo giusto valore, senza peraltro aver fatto nulla di speciale. Ma resta pur sempre di fare una cosa fondamentale: dimostrare con fatti geometrici a supporto della definizione di auricità, non solo dell'angolo aureo, ma fare la stessa cosa per la sezione aurea che manca di altrettanto sostegno se non quello derivante dalla geometria del segmento.
A tale scopo comincio col mostrare diverse situazioni geometriche relative a particolari intersezioni di coniche per dar luogo alla configurazione dell'angolo aureo in discussione, nonché la sezione aurea.